Rozhovor s doktorem Liborem Koudelou z Ústavu matematiky a kvantitativních metod Fakulty ekonomicko-správní Univerzity Pardubice
Mohl byste nám přiblížit osobnost Bernarda Bolzana?
Omezíme-li se na osobnost Bolzana-matematika, musíme si především uvědomit, že Bolzanovo matematické dílo vznikalo v různých etapách jeho života, přičemž vedle matematiky se Bolzano zabýval širokým spektrem dalších oborů. Jeho zájem o matematiku byl motivován především filosoficky a svou pozornost věnoval Bolzano hlavně revizi a budování základů. Bolzano měl hluboký vhled do matematiky a byl si možná lépe než jeho současníci vědom slabých míst, která existují v základech geometrie a analýzy. Když studentům v prvním semestru vykládáme úvod do matematické analýzy, patří Bolzanovo jméno k těm, která zmiňujeme nejčastěji. Jeho dílo je dnes vysoce oceňováno, ale v době jeho života nebylo všeobecně známo a nemělo vliv na vývoj matematiky. Bolzano svými myšlenkami často předběhl dobu a řada z nich nebyla za jeho života vůbec publikována. To je třeba případ Bolzanovy funkce, která je historicky prvním známým příkladem spojité funkce nemající v žádném bodě derivaci.
Co vyplývá z faktu, že Bolzanova funkce nemá v žádném bodě derivaci?
Spojité funkce nemající derivaci v žádném bodě byly v matematice poměrně široce studovány už od konce 19. století. První obecně známý příklad takové funkce, který přinesl Karl Weierstrass roku 1872, nicméně způsobil poprask. Weierstrassova funkce totiž naprosto odporovala intuitivní představě, že každá spojitá funkce je diferencovatelná, s případnou výjimkou konečného počtu bodů. Weierstrassova funkce se stala prototypem tzv. patologických objektů v matematice; tak začaly být označovány objekty, jejichž vlastnosti se v určitém směru zásadně odlišovaly od těch, které byly podobným objektům přisuzovány. Bolzano přitom svůj příklad popsal téměř půl století před Weierstrassem. Jeho cílem bylo vlastně popsat spojitou funkci definovanou v intervalu [a,b], která nemá derivaci v bodech tvořících hustou podmnožinu [a,b]. Jak napsal později Vojtěch Jarník, už jen to, že Bolzanovi existence takové funkce vůbec přišla na mysl, je hodno obdivu. Graf Bolzanovy funkce je typickou fraktální křivkou a vlastně prvním historicky známým fraktálem vůbec.
Kde se fraktály používají či co jimi lze popsat?
Pojem fraktál pochází od francouzského matematika Benoîta Mandelbrota, který tak v 70. letech 20. století začal nazývat matematické objekty vyznačující se jistými specifickými vlastnostmi, zejména jemnou strukturou patrnou při libovolném zvětšení a určitou formou soběpodobnosti. Mandelbrotův přínos spočíval v poznatku, že tyto objekty mají společné znaky s některými tvary vyskytujícími se v přírodě. Z toho pak přímo plyne možnost pokusit se použít k charakterizování takových přírodních jevů prostředky, které se používají k popisu fraktálů v matematice – např. fraktální dimenzi. Slavný je Mandelbrotův článek o tom, jak dlouhé je vlastně pobřeží Británie. Ukazuje se totiž, že výsledek výrazně závisí na tom, jaké měřítko zvolíme. Fraktální dimenze pak může sloužit k vyjádření míry členitosti pobřeží. V některých oblastech podobné úvahy nepochybně přinesly zajímavé výsledky.
Existuje dnes nějaká obecně přijímaná definice pojmu křivky?
Ano, existuje, ale je zajímavé, že cesta k ní byla velmi dlouhá a složitá. Intuitivně je pojem křivky jasný, ale matematicky korektní definice byla formulována až v první polovině dvacátého století a přinesli ji nezávisle Karl Menger a Pavel Uryson. Křivku zhruba řečeno chápeme jako lineární kontinuum. Aby bylo možné definovat křivku, bylo nutné vyjasnit pojmy dimenze a kontinua. Celý ten proces souvisel s rozvíjením teorie bodových množin. Stojí za to také připomenout, že velmi hlubokými úvahami se v tomto směru zabýval i Bernard Bolzano.
Jakou má podle Vás úlohu logika a intuice v procesu matematického poznání?
Vztah logiky a intuice je v matematice velkým tématem. Klasická je přednáška Hanse Hahna z roku 1933 o krizi intuice, v níž byl vysloven požadavek vyloučení intuice z matematických úvah a úplné formalizace matematiky. Hahn dokazoval na příkladech, které se mimochodem často týkaly křivek, že intuice opakovaně vedla k chybným předpokladům, a že pouze logika poskytuje adekvátní prostředky pro porozumění objektům, označovaných dříve jako patologické. Hahn ve své programové přednášce explicitně zmiňoval Bolzana jako průkopníka tohoto pojetí matematiky. Intuice má nicméně v matematice určitě své místo. Jak svého času prohlásil Henri Poincaré, zatímco logika je nástrojem dokazování, intuice je nástrojem objevování.
Kateřina Šraitrová, moderátorka Kavárny Universitas,
studentka FChT UPa